1.Тема: “ Основы математической статистики”.

2. Актуальность темы.

Математическая статистика – это раздел математики, которая изучает методы собирания, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных событий с целью выяснения и практического применения существующих закономерностей. Методы математической статистики нашли широкое применение в клинической медицине и здравоохранении. Они используются, в частности, при разработке математических методов медицинской диагностики, в теории эпидемий, в планировании и обработке результатов медицинского эксперимента, в организации здравоохранения. Статистические концепции, сознательно или бессознательно, используются при принятии решений в таких вопросах, как клинический диагноз, прогнозирование течения болезни у отдельного больного, прогнозирование возможных результатов осуществления тех или других программ в данной группе населения и выбор надлежащей программы в конкретных обстоятельствах. Знакомство с идеями и методами математической статистики является необходимым элементом профессионального образования каждого работника здравоохранения.

1. ознакомить студентов с основными идеями, понятиями и методами математической статистики, уделяя внимание, главным образом, вопросам, по"язанним с обработкой результатов наблюдений массовых случайных событий с целью выяснения и практического применения существующих закономерностей;
2. научить студентам сознательно применять основные понятия математической статистики при решении простейших проблем, которые возникают в профессиональной деятельности врача.

1. определение частоты класса (абсолютной и относительной)
2. определение генеральной сукупністі и виборки, объема виборки
3. точечное и інтервальне оценивание
4. надежный интервал и достоверность
5. определение моды, медианы и выборочного среднего
6. определение размаха, міжквартильного размаха, квартильного отклонение
7. определение среднего абсолютного отклонения
8. определение выборочной коваріації и дисперсии
9. определение выборочных стандартного отклонения и коэффициенту вариации
10. определение выборочных коэффициентов регрессії
11. эмпирические уравнения линейной регрессії
12. определение выборочного корреляційного коэффициенту.

1. моды, медианы и выборочного среднего
2. размаха, міжквартильного размаха, квартильного отклонение
3. среднего абсолютного отклонения
4. выборочной коваріації и дисперсии
5. выборочных стандартного отклонения и коэффициенту вариации
6. надежного интервала для математического ожидания и дисперсии
7. выборочных коэффициентов регрессії
8. выборочного корреляційного коэффициенту.

1. Определение распределения, ряд распределения и многокутника распределения дискретной случайной величины
2. Определение функциональной залежністі между случайными величинами
3. Определение корреляционной залежністі между случайными величинами

1. Определение випадковоі события, ее относительную частоту и вероятность.
2. Теорема составления вероятностей несовместимых событий
3. Теорема составления вероятностей совместных событий
4. Теорема умножения вероятностей независимых событий
5. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
6. Теорема полной вероятности
7. Теорема Байеса
8. Определение случайных величин: дискретной и непрерывной
9. Определение распределения, ряд распределения и многоугольника распределения дискретной случайной величины
10. Определение функции распределения
11. Определение мер положения центра распределения
12. Определение мер вариабельности значений случайной величины
13. Определение щільністі распределения и кривой распределения непрерывной случайной величины
14. Определение функциональной зависимости между случайными величинами
15. Определение корреляционной зависимости между случайными величинами
16. Определение регрессии, уравнение и линии регрессии
17. Определение коваріації и коэффициента корреляции
18. Определение уравнения линейной регрессии.

1. Жуматій П.Г. Лекция “Теория вероятностей”. Одесса, 2009.
2. Жуматій П.Г. “ Основы теории вероятностей”. Одесса, 2009.
3. Жуматій П.Г., Сеницька Я.Р. Элементы теории вероятностей. Методические указания для студентов медицинского института. Одесса, 1981.
4. Чалый О.В., Агапов Б.Т., Цехмістер Я.В. Медицинская и биологическая физика. Киев, 2004.

Математическая статистика - это раздел математики, которая изучает методы сбора, систематизации, обработки, изображение, анализа и интерпретации результатов наблюдений с целью выявления существующих закономерностей.

Применение статистики в здравоохранении необходимо как на уровне сообщества, так и на уровне отдельных пациентов. Медицина имеет дело с индивидуумами, которые отличаются друг от друга по многим характеристикам, и значение показателей, на основе которых человека можно считать здоровой, варьируются от одного индивидуума к другому. Нет двух абсолютно одинаковых пациентов или двух групп пациентов, поэтому решение, которые касаются отдельных больных или групп населень, приходится принимать, исходя из опыта, накопленного на других больных или популяціних группах с похожими биологическими характеристиками. Необходимо осознавать, что учитывая существующие расхождения эти решения не могут быть абсолютно точными - они всегда связаны с некоторой неопределенностью. Именно в этом состоит ймовірносна природа медицины.

Некоторые примеры применения статистических методов в медицине:

трактовка вариации (вариабельность характеристик организма при решении вопроса о том, какое значение той или другой характеристики будет идеальным, нормальным, средним и т.і., делает необходимым использование соответствующих статистических методов).

диагностика заболеваний в отдельных больных и оценка состояния здоровья группы населения.

прогнозирование конца болезни в отдельных больных или возможного результата программы борьбы по той или другой болезнью в любой группе населения.

выбор пригодного влияния на больного или на группу населения .

планирование и проведение медицинских исследований , анализ и публикація результатов, их чтение и критическая оценка.

планирование здравоохранения и руководство им .

Полезная медицинская информация обычно скрыта в массе необработанных данных. Необходимо сконцентрировать информацию, которая содержится в них, и представить данные так, чтобы структуру вариации было хорошо видно, а потом уже выбрать конкретные методы анализа.

Изображение данных предусматривает знакомство с такими понятиями и сроками:

вариационный ряд (упорядоченное расположение) - простое упорядочение отдельных наблюдений за величиной.

класс - один из интервалов, на которые делят весь диапазон значений случайной величины.

крайние точки класса - значение, которые ограничивают класс, например 2,5 и 3,0, нижняя и верхняя границы класса 2,5 - 3,0.

(абсолютная) частота класса - число наблюдений в классе.

относительная частота класса - абсолютная частота класса, выраженная в виде частные общего числа наблюдений.

кумулятивная (накопленная) частота класса - число наблюдений, которое равняется сумме частот всех предыдущих классов и данного класса .

стовпцева диаграмма - графическое изображение частот данных для номинальных классов с помощью столбцов, высоты которых прямо пропорциональные частотам классов.

круговая диаграмма - графическое изображение частот данных для номинальных классов с помощью секторов круга, площади которых прямо пропорциональные частотам классов.

гістограма - графическое изображение частотного распределения количественных данных площадями прямоугольников, прямо пропорциональных частотам классов.

полигон частот - график частотного распределения количественных данных; точку, соответствующую частоте класса, располагают над серединой интервала, каждое две соседние точки соединяют отрезком прямой.

огива (кумулятивная кривая) - график распределения кумулятивных относительных частот.

Всем медицинским данным присущий вариабельность, тому анализ результатов измерений основанный на изучении сведений о том, каких значениях принимала случайная величина, которая исследуется.

Совокупность всех возможных значений случайной величины называется генеральной.

Часть генеральной совокупности, зарегистрированная в результате испытаний, носит название виборкою.

Число наблюдений, включенное в виборку, зовут объемом виборки (обычно обозначается n ) .

Задача выборочного метода заключается в том, чтобы по полученной избирателю сделать правильную оценку случайной величины, которая изучается. Поэтому основное требование, которое пред"яв-ляється к виборки, это максимальное отображение всех черт генеральной совокупности. Виборка, что удовлетворяет этому требованию, называется репрезентативной. От репрезентативности виборки зависит обгрунтованість оценки, то есть степень соответствия оценки параметру, который она характеризует .

При оценивании параметров генеральной совокупности по избирателю (параметрическом оценивании) пользуются такими понятиями:

точечное оценивание - оценка параметра генеральной совокупности в виде единичного значения, которое он может принять с самой большой вероятностью.

интервальне оценивание - оценка параметра генеральной совокупности в виде интервала значений, который имеет заданную вероятность накрыть его истинное значение.

При інтервальному оценивании используют понятие:

надежный интервал - интервал значений, который имеет заданную вероятность накрыть истинное значение параметра генеральной совокупности при інтервальному оценивании.

достоверность (надежная вероятность) - вероятность, с которой надежный интервал накрывает истинное значение параметра генеральной совокупности.

надежные границы - нижняя и верхняя границы надежного интервала.

Выводы, которые получаются методами математической статистики, всегда основываются на ограниченном, выборочном числе наблюдений, поэтому природньо, что для второй виборки результаты могут быть другими. Это обстоятельство определяет ймовірносний характер выводов математической статистики и, как следствие, широкое использование теории вероятностей в практике статистического исследования.

Типичный путь статистического исследования такой :

оценивши величины или зависимости между ними по данным наблюдений, выдвигают допущение о том, что явление, которое изучается, можно описать той или другой стохастичною моделью

используя статистические методы, можно это предположение подтвердить или отвергнуть; при подтверждении цель достигнута - найдена модель, которая описывает исследуемые закономерности, в противоположном случае продолжают работу, выдвигая и проверяя новую гипотезу.

Определение выборочных статистических оценок:

мода - это значения, которое чаще всего встречается в избирателе ,

медиана - центральное (срединное) значение вариационного ряда

размах R - разность между самым большим и наименьшим значениями в серии наблюдений

процентилі - значение в вариационном ряде, которые делят распределение на 100 равных частей (таким образом, медиана будет п"ятидесятим процентилем)

первый квартиль - 25- ий процентиль

третий квартиль - 75- ий процентиль

міжквартильний размах - разность между первым и третьим квартилями (охватывает центральных 50% наблюдений)

квартильне отклонение - половина міжквартильного размаха

выборочное среднее - среднее арифметическое всех выборочных значений (выборочная оценка математического ожидания)

среднее абсолютное отклонение - сумма отклонений от соответствующего начала (без учета знака), разделенная на объем виборки

среднее абсолютное отклонение от выборочного среднего вычисляют за формулой

выборочная дисперсия ( X ) - (выборочная оценка дисперсии) определяется формулой

выборочная коваріація -- (выборочная оценка коваріації К ( Х,Y )) равняется

выборочный коэффициент регрессии Y на X (выборочная оценка коэффициента регрессии Y на X ) равняется

эмпирическое уравнение линейной регрессии Y на X имеет вид

выборочный коэффициент регрессии X на Y (выборочная оценка коэффициента регрессии X на Y) равняется

эмпирическое уравнение линейной регрессии X на Y имеет вид

выборочное стандартное отклонение s(Х) - (выборочная оценка стандартного отклонения) равняется корню квадратному из выборочной дисперсии

выборочный корреляційний коэффициент - (выборочная оценка корреляционного коэффициента) равняется

выборочный коэффициент вариации  - (выборочная оценка коэффициента вариации CV) равняется

.

8.1.1 Практическое вычисление выборочных оценок

Пример 1 .

Продолжительность заболевания (в днях) в 20 случаях пневмонии сложила:

10, 11, 6, 16, 7, 13, 15, 8, 9, 10, 11, 13, 7, 8, 13, 15, 16, 13, 14, 15

Определить моду, медиану, размах, міжквартильний размах, выборочное среднее, среднее абсолютное отклонение от выборочного среднего, выборочную дисперсию, выборочный коэффициент вариации.

Розв"зок.

Вариационный ряд для виборки имеет вид

6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 11, 13, 13, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16

Мода

Наиболее часто в избирателе встречается число 13. Поэтому значением моды в избирателе будет это число.

Медиана

Когда вариационный ряд содержит парное число наблюдений, медиана равняется среднему двух центральных членов ряда, в данном случае это 11 и 13, поэтому медиана равняется 12.

Размах

Минимальное значение в избирателе равняется 6, а максимальное 16, итак, R = 10.

Міжквартильний размах, квартильне отклонение

В вариационном ряде четверть всех данных имеет значение меньшие, или уровне 8, поэтому первый квартиль 8, а 75% всех данных имеют значение меньшие, или уровне 12, поэтому третий квартиль 14. Итак, міжквартильний размах равняется 6, а квартильне отклонение составляет 3.

Выборочное среднее

Среднее арифметическое всех выборочных значений равняется

.

Среднее абсолютное отклонение от выборочного среднего

.

Выборочная дисперсия

Выборочное стандартное отклонение

.

Bибірковий коэффициент вариации

.

В следующем примере рассмотрим простейшие средства изучения стохастичної зависимости между двумя случайными величинами.

Пример 2 .

При обследовании группы пациентов получены данные о росте Н (см) и объем циркулирующей крови V (л) :

Найти эмпирические уравнения линейной регрессії.

Розв"зок.

Первое, что необходимо вычислить, это:

выборочное среднее

выборочное среднее

.

Второе, что необходимо подсчитать, это:

выборочную дисперсию (Н)

выборочную дисперсию (V)

выборочную коваріацію

Третье, это вычисления выборочных коэффициентов регрессии:

выборочный коэффициент регрессии V на H

выборочный коэффициент регрессии H на V

.

Четвертое, записать искомые уравнения:

эмпирическое уравнение линейной регрессии V на H имеет вид

эмпирическое уравнение линейной регрессии H на V имеет вид

.

Пример 3 .

Используя условия и результаты примера 2, высчитать коэффициент корреляции и проверить достоверность существования корреляционной зависимости между ростом человека и объемом циркулирующей крови с 95% надежной вероятностью.

Розв"зок.

Коэффициент корреляції связан с коэффициентами регрессии и практически полезной формулой

.

Для выборочной оценки коэффициента корреляції эта формула имеет вид

.

Используя вираховані в примере 2 значение выборочных коэффициентов регрессії и, получим

.

Проверка достоверности корреляційної зависимости между случайными величинами (полагает нормальное распределение у каждой из них) осуществляется таким образом:

• вычисляют величину Т

• находят в таблице распределения Стьюдента коэффициент

• существование корреляционной зависимости между случайными величинами подтверждается при выполнении неровности

.

Поскольку 3,5 > 2,26, то с 95% надежной вероятностью существования корреляционной зависимости между ростом пациента и объемом циркулирующей крови можно считать установленным.

Інтервальні оценки для математического ожидания и дисперсии

Если случайная величина имеет нормальное распределение, то інтервальні оценки для математического ожидания и дисперсии вычисляют в такой последовательности:

1.находят выборочное среднее;

2.подсчитывают выборочную дисперсию и выборочное стандартное отклонение s ;

3.в таблице распределения Стьюдента за надежной вероятностью  и объемом виборки n находят коэффициент Стьюдента;

4.надежный интервал для математического ожидания записывают в виде

5.в таблице распределения "> и объемом виборкиn находят коэффициенты

;

6.надежный интервал для дисперсии записывают в виде

Величина надежного интервала, надежная вероятность и объем виборкиn зависят друг от друга. На самом деле, отношение

уменьшается с ростомn, итак, при постоянной величине надежного интервала с ростомn растет и . При постоянной надежной вероятности с ростом объема виборкип уменьшается величина надежного интервала. При планировании медицинских исследований эта связь используют для определения минимального объема виборки, который обеспечит нужны по условиям решаемой задачи величины надежного интервала и надежной вероятности.

Пример 5.

Используя условия и результаты примера 1, найдите інтервальні оценки математического ожидания и дисперсии для 95% надежной вероятности.

Розв"зок.

В примере 1 вираховані точечные оценки математического ожидания (выборочное среднее =12), дисперсии (выборочная дисперсия =10,7) и стандартного отклонения (выборочное стандартное отклонение). Объем виборки равняетсяп = 20.

Из таблицы распределения Стьюдента найдем значение коэффициента

дальше вычислим полуширинуd надежного интервала

и запишем інтервальну оценку математического ожидания

10,5 < < 13,5 при = 95%

Из таблицы распределения Пірсона " хи-квадрат " найдем коэффициенты

вычислим нижнюю и верхнюю надежные границы

и запишем інтервальну оценку для дисперсии в виде

6,2 23 при = 95% .

8.1.2. Задачи для самостоятельного решения

Для самостоятельногорешения предлагаются задачи5.4 С 1 – 8 (П.Г.Жуматій. “Математическая обработка медико-биологических данных. Задачи и примеры”. Одесса, 2009, с. 24-25)

1. Частота класса (абсолютная и относительная).
2. Генеральная совокупность и выборка, объем выборки.
3. Точечное и інтервальне оценивание.
4. Надежный интервал и достоверность.
5. Мода, медиана и выборочное среднее.
6. Размах, міжквартільний размах, квартальное отклонение.
7. Среднее абсолютное отклонение.
8. Выборочные коваріація и дисперсия.
9. Выборочные стандартное отклонение и коэффициент вариации.
10. Выборочные коэффициенты регрессии.
11. Эмпирические уравнения регрессии.
12. Вычисление корреляционного коэффициента и достоверности корреляционной связи.
13. Построение інтервальних оценок нормально распределенных случайных величин.

1. Жуматій П.Г. “Математическая обработка медико-биологических данных. Задачи и примеры”. Одесса, 2009.
2. Жуматій П.Г. Лекция “Математическая статистика”. Одесса, 2009.
3. Жуматій П.Г. “ Основы математической статистики”. Одесса, 2009.
4. Жуматій П.Г., Сеницька Я.Р. Элементы теории вероятностей. Методические указания для студентов медицинского института. Одесса, 1981.
5. Чалый О.В., Агапов Б.Т., Цехмістер Я.В. Медицинская и биологическая физика. Киев, 2004.

1. Ремізов О.M. Медицинская и биологическая физика. М., “Высшая школа”, 1999.
2. Ремізов О.M., Ісакова Н.Х., Максіна О.Г.. Сборник задач из медицинской и биологической физики. М., .,“Высшая школа”, 1987.

Математическая статистика является одним из основных разделов такой науки, как математика, и представляет собой отрасль, изучающую методы и правила обработки определенных данных. Иными словами, она исследует способы раскрытия закономерностей, которые свойственны большим совокупностям одинаковых объектов, основываясь на их выборочном обследовании.

Задача данного раздела состоит в построении методов оценки вероятности или принятии определенного решения о характере развивающихся событий, опираясь на полученные результаты. Для описания данных используются таблицы, диаграммы, а также корреляционные поля. применяются редко.

Математическая статистика используются в различных областях науки. К примеру, для экономики важно обрабатывать сведения об однородных совокупностях явлений и объектов. Ими могут являться изделия, выпускаемые промышленностью, персонал, данные о прибыли и т. д. В зависимости от математической природы результатов наблюдений, можно выделить статистику чисел, анализ функций и объектов нечисловой природы, многомерный анализ. Помимо этого, рассматривают общие и частные (связанные с восстановлением зависимостей, использованием классификаций, выборочными исследованиями) задачи.

Авторы некоторых учебников считают, что теория математической статистики является лишь разделом теории вероятности, другие - что это самостоятельная наука, имеющая собственные цели, задачи и методы. Однако в любом случае ее использование очень обширно.

Так, наиболее ярко математическая статистика применима в психологии. Ее использование позволит специалисту правильно обосновать найти зависимость между данными, обобщить их, избежать многих логических ошибок и многое другое. Нужно отметить, что измерить тот или иной психологический феномен или свойство личности без вычислительных процедур часто просто невозможно. Это говорит о том, что азы данной науки необходимы. Иными словами, ее можно назвать источником и базой теории вероятностей.

Метод исследования, который опирается на рассмотрение статистических данных, используется и в других областях. Однако сразу необходимо отметить, что его черты в применении к объектам, имеющим различную природу происхождения, всегда своеобразны. Поэтому объединять в одну науку физическую или не имеет смысла. Общие же черты данного метода сводятся к подсчету определенного числа объектов, которые входят в ту или иную группу, а также изучению распределения количественных признаков и применению теории вероятностей для получения тех или иных выводов.

Элементы математической статистики используются в таких областях, как физика, астрономия и т. д. Здесь могут рассматриваться значения характеристик и параметров, гипотезы о совпадении каких-либо характеристик в двух выборках, о симметрии распределения и многое другое.

Большую роль математическая статистика играет в проведении Их целью чаще всего является построение адекватных методов оценивания и проверка гипотез. В настоящее время огромное значение в данной науке имеют компьютерные технологии. Они позволяют не только значительно упростить процесс расчета, но и создать для размножения выборок или при изучении пригодности полученных результатов на практике.

В общем случае методы математической статистики помогают сделать два вывода: или принять искомое суждение о характере или свойствах изучаемых данных и их взаимосвязей, или доказать, что полученных результатов недостаточно для того, чтобы делать выводы.

Методы математической статистики применяются, как правило, на всех этапах анализа исследовательских материалов для выбора стратегии решения задач по конкретным выборочным данным, оценивания полученных результатов. Для обработки материала использовались методы математической статистики. Математическая обработка материалов позволяет со всей четкостью выделить и оценить количественные параметры объективной информации, проанализировать и представить их в различных соотношениях и зависимостях. Они позволяют определить меру варьирования величин в собранных материалах, содержащих количественную информацию о некотором множестве случаев, часть из которых подтверждает предполагаемые связи, а часть не выявляет их, вычислить достоверность количественных различий между выделенными совокупностями случаев, получить другие математические характеристики, необходимые для верного истолкования фактов. Достоверность различий полученных в ходе исследования определялась по t-критерию Стьюдента.

Рассчитывались следующие величины.

1. Среднее арифметическое значение выборки.

Характеризует среднее значение рассматриваемой совокупности. Обозначим результаты измерений. Тогда:

где У- сумма всех значений, когда текущий индекс i изменяется от 1 до n.

2. Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) , характеризующее рассеивание, разбросанность рассматриваемой совокупности относительно среднего арифметического значения.

= (x max - x min)/ k

где - среднее квадратическое отклонение

хmaх - максимальное значение таблицы;

хmin - минимальное значение таблицы;

k - коэффициент

3. Стандартная ошибка средней арифметической или ошибка репрезентативности (m). Стандартная ошибка средней арифметической характеризует степень отклонения выборочной средней арифметической от средней арифметической генеральной совокупности.

Стандартная ошибка средней арифметической вычисляется по формуле:

где у - стандартное отклонение результатов измерений,

n - объем выборки. Чем меньше m тем выше стабильность, устойчивость результатов.

4. Критерий Стьюдента.

(в числителе - разность средних значений двух групп, в знаменателе - квадратный корень из суммы квадратов стандартных ошибок этих средних).

При обработке полеченных результатов исследования использовали компьютерную программу с пакетом Excel.

Организация исследования

Исследование проводилось нами по общепринятым правилам, и осуществлялось в 3 этапа.

На первом этапе был собран и проанализирован полученный материал по рассматриваемой проблеме исследования. Формировался предмет научного исследования. Проведенный анализ литературы на данном этапе позволил конкретизировать цель и задачи исследования. Проведено первичное тестирование техники бега на 30 м.<... class="gads_sm">

На третьем этапе был систематизирован полученный в результате научного исследования материал, обобщена вся имеющаяся информация по проблеме исследования.

Экспериментальное исследование проводилось на базе ГУО «Ляховичская средняя школа», в общей сложности выборка составила 20 учащихся 6 классов (11-12 лет).

Глава 3. Анализ результатов исследования

В результате педагогического эксперимента нами были выявлен исходный уровень техники бега на 30 м учащихся в контрольной и экспериментальной группах (Приложения 1-2). Статистическая обработка полученных результатов позволила получить следующие данные (таблица 6).

Таблица 6. Исходный уровень качества бега

Как видно из таблицы 6 среднее количество баллов у спортсменов контрольной и экспериментальной группы статистически не отличаются, в экспериментальной группе средний бал составил 3,6 балла, а в контрольной 3,7 балла. T-критерий в обеих группах tэмп=0,3; Р?0,05, при tкрит=2,1; Результаты исходного тестирования показали, что показатели не зависят от обученности и носят случайный характер. По первоначальному тестированию показатели качества бега у контрольной группы немного превышали показатели экспериментальной группы. Но не было выявлено статистически достоверных различий в группах, что является доказательством идентичности учащихся контрольной и экспериментальной групп по технике бега 30м.

За время эксперимента в обеих группах улучшились показатели, характеризующие эффективность техники бега. Однако это улучшение в разных группах участников эксперимента носило разный характер. В результате обучения выявлен закономерный небольшой прирост показателей в контрольной группе (3,8 балла). Как видно из Приложения 2 в экспериментальной группе был выявлен большой прирост показателей. Учащиеся занимались по предложенной нами программе, что достоверно улучшило показатели.

Таблица 7. Изменения качества бега у испытуемых экспериментальной группы

В ходе эксперимента мы установили, что повышенные нагрузки в экспериментальной группе дали значительные улучшения развития быстроты, нежели в контрольной группе.

В подростковом возрасте целесообразно развивать быстроту путем преимущественного использования средств физического воспитания, направленных на повышение частоты движений. В возрасте 12-15 лет повышаются скоростные способности, в результате применения главным образом скоростно-силовых и силовых упражнений которые использованы нами в процессе проведения уроков физической культуры и внеклассных занятий спортивной секции баскетбола и лёгкой атлетики.

При проведении занятий в экспериментальной группе велась строгая этапность усложнения и двигательного опыта. Своевременно велась работа над ошибками. Как показал анализ фактических данных, экспериментальная методика обучения оказало существенное изменение на качество выполнения техники бега (tэмп=2,4). Анализ полученных результатов в экспериментальной группе и сравнение их с данными, полученными в контрольной группе при использовании общепринятой методики обучения, дают основание утверждать, что предложенная нами методика повысит эффективность обучения.

Таким образом, на этапе совершенствования методики бега 30м в школе мы выявили динамику изменения показателей тестирования в экспериментальной и контрольной группе. После проведенного эксперимента качество выполнение приема повысилась в экспериментальной группе до 4,9 баллов (t=3,3; Р?0,05). К концу эксперимента качество владения техникой бега в экспериментальной группе оказалось выше, чем в контрольной группе.

Данным, полученным в результате эксперимента, свойственна изменчивость, которая может быть вызвана случайной ошибкой: погрешностью измерительного прибора, неоднородностью образцов и т.д. После проведения большого количества однородных данных экспериментатору необходимо их обработать для извлечения как можно более точной информации о рассматриваемой величине. Для обработки больших массивов данных измерений, наблюдений и т.п., которые могут быть получены при проведении эксперимента, удобно применять методы математической статистики .

Математическая статистика неразрывно связана с теорией вероятностей, но между этими науками есть существенное различие. Теория вероятностей использует уже известные распределения случайных величин , на основе которых рассчитываются вероятности событий, математическое ожидание т.д. Задача математической статистики – получить как можно более достоверную информацию о распределении случайной величины на основе экспериментальных данных.

Типичные направления математической статистики:

• теория выборок;
• теория оценок;
• проверка статистических гипотез;
• регрессионный анализ;
• дисперсионный анализ.

Методы математической статистики

Методы оценки и проверки гипотез основываются на вероятностных и гиперслучайных моделях происхождения данных.

Математическая статистика оценивает параметры и функции от них, которые представляют важные характеристики распределений (медиану, математическое ожидание, стандартное отклонение, квантили и др.), плотности и функции распределения и пр. Используются точечные и интервальные оценки.

Современная математическая статистика содержит большой раздел – статистический последовательный анализ , в котором допускается формирование массива наблюдений по одному массиву.

Математическая статистика также содержит общую теорию проверки гипотез и большое количество методов для проверки конкретных гипотез (например, о симметрии распределения, о значениях параметров и характеристик, о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения, гипотеза проверки однородности (совпадение характеристик или функций распределения в двух выборках) и др.).

Проведением выборочных обследований , связанных с построением адекватных методов оценки и проверки гипотез, со свойствами разных схем организации выборок, занимается раздел математической статистики, имеющий большое значение. Методы математической статистики непосредственно использует следующие основные понятия.

Выборка

Определение 1

Выборкой называются данные, которые получены при проведении эксперимента.

Например, результаты дальности полета пули при выстреле одного и того же или группы однотипных орудий.

Эмпирическая функция распределения

Замечание 1

Функция распределения дает возможность выразить все важнейшие характеристики случайной величины.

В математической стаитистике существует понятие теоретической (заранее не известной) и эмпирической функции распределения.

Эмпирическая функция определяется по данным опыта (эмпирические данные), т.е. по выборке.

Гистограмма

Гистограммы используются для наглядного, но довольно приближенного, представления о неизвестном распределении.

Гистограмма представляет собой графическое изображение распределения данных.

Для получения качественной гистограммы придерживаются следующих правил :

• Количество элементов выборки должно быть существенно меньше объема выборки.
• Интервалы разбиения должны содержать достаточное число элементов выборки.

Если выборка очень большая зачастую интервал элементов выборки разбивают на одинаковые части.

Выборочное среднее и выборочная дисперсия

С помощью данных понятий можно получить оценку необходимых числовых характеристик неизвестного распределения, не прибегая к построению функции распределения, гистограммы и т.п.

Рассмотрим некоторые понятия и основные подходы к классификации погрешностей. По способу вычисления погрешности можно подразделить на абсолютные и относительные.

Абсолютная погрешность равна разности среднего измерения величины х и истинного значения этой величины:

В отдельных случаях, если это необходимо, рассчитывают погрешности еди­ничных определений:

Заметим, что измеренной величиной в химическом анализе может быть как содержание компонента, так и аналитический сигнал. В зависимости от того, завышает или занижает погрешность результат анализа, погрешности могут быть положительные и отрицательные.

Относительная погрешность может быть выражена в долях или про­центах и обычно знака не имеет:

или

Можно классифицировать погрешности по источникам их происхождения. Так как источников погрешностей чрезвычайно много, то их классификация не может быть однозначной.

Чаще всего погрешности классифицируют по характеру при­чин, их вызывающих. При этом погрешности делят на систематиче­ ские и случайные, выделяют также промахи (или грубые погрешности).

К систематическим относят погрешности, которые вызваны постоянно действующей причиной, постоянны во всех измерениях или меняются по постоянно действующему закону, могут быть выявлены и устранены.

Случайные погрешности, причины появления которых неизвестны, могут быть оценены методами математической статистики.

Промах - это погрешность, резко искажающая результат анализа и обычно легко обнаруживаемая, вызванная, как правило, небрежностью или некомпетентностью аналитика. На рис. 1.1 представлена схема, поясняющая понятия систематических и погрешностей и промахов. Прямая 1 отвечает тому идеальному случаю, когда во всех N определениях отсутствуют систематические и случайные погрешности. Линии 2 и 3 тоже идеализированные примеры химического анализа. В одном случае (прямая 2) полностью отсутствуют случайные погрешности, но все N определений имеют постоянную отрицательную систематическую погрешность Δх; в другом случае (линия 3) полностью отсутствует систематическая погрешность. Реальную ситуацию отражает линия 4: имеются как случайные, так и систематические погрешности.

Рис. 4.2.1 Систематические и случайные погрешности химического анализа.

Деление погрешностей на систематические и случайные в известной степени условно.

Систематические погрешности одной выборки результатов при рассмотрении большего числа данных могут переходить в случайные. Например, систематическая погрешность, обусловленная неправильными показаниями прибора, при измерении аналитического сигнала на разных приборах в разных лабораториях переходит в случайную.

Воспроизводимость характеризует степень близости друг к другу единичных определений, рассеяние единичных результатов относительно среднего (рис. 1.2).

Рис. 4.2..2. Воспроизводимость и правильность химического анализа

В отдельных случаях наряду с термином «воспроизводимость» используют термин «сходимость». При этом под сходимостью понимают рассеяние результатов параллельных определений, а под воспроизводимостью - рас­сеяние результатов, полученных разными методами, в разных лабораториях, в разное время и т. п.

Правильность - это качество химического анализа, отражающее близость к нулю систематической погрешности. Правильность характеризует отклонение полученного результата анализа от истинного значения измеряемой величины (см. рис.1.2).

Генеральная совокупность - гипотетическая совокупность всех мыслимых результатов от -∞ до +∞;

Анализ экспериментальных данных показывает, что большие по значению погрешности наблюдаются реже , чем малые. Отмечается также, что при увеличении числа наблюдений одинаковые погрешности разного знака встречаются одинаково часто. Эти и другие свойства случайных погрешностей описываются нормальным распределением или уравнением Гаусса, которое описывает плотность вероятности
.

где х -значение случайной величины;

μ – генеральное среднее (математическое ожидание -постоянный параметр);

Математическое ожидание - для непрерывной случайной величины представляет собой предел, к которому стремится среднее при неограниченном увеличении выборки. Таким образом, математическое ожидание является средним значением для всей генеральной совокупности в целом, иногда его называют генеральным средним.

σ 2 -дисперсия (постоянный параметр) - характеризует рассеяние случайной величины относительно своего математического ожидания;

σ – стандартное отклонение.

Дисперсия – характеризует рассеяние случайной величины относительно своего математического ожидания.

Выборочная совокупность (выборка) - реальное число (n) результатов, которое имеет исследователь, n = 3 ÷ 10.

Нормальный закон распределения неприемлем для обработки малого числа изменений выборочной совокупности (обычно 3 – 10) – даже если генеральная совокупность в целом распределена нормально. Для малых выборок вместо нормального распределения используют распределение Стьюдента (t – распределение) , которое связывает между собой три основные характеристики выборочной совокупности –

Ширину доверительного интервала;

Соответствующую ему вероятность;

Объем выборочной совокупности.

Перед обработкой данных с применением методов математической статистики необходимо выявить промахи (грубые ошибки) и исключить их из числа рассматриваемых результатов. Одним из наиболее простых является метод выявления промахов с применением Q – критерия с числом измерений n < 10:

где R = х макс - х мин – размах варьирования; х 1 – подозрительно выделяющееся значение; х 2 – результат единичного определения, ближайший по значению к х 1 .

Полученное значение сравнивают с критическим значением Q крит при доверительной вероятности Р = 0,95. Если Q > Q крит, выпадающий результат является промахом и его отбрасывают.

Основные характеристики выборочной совокупности . Для выборки из n результатов рассчитывают среднее, :

и дисперсию , характеризующую рассеяние результатов относительно среднего:

Дисперсия в явном виде не может быть использована для количественной характеристики рассеяния результатов, поскольку ее размерность не совпадает с размерностью результата анализа. Для характеристики рассеяния используют стандартное отклонение, S .

Эту величину называют также средним квадратичным (или квадратическим) отклонением или средней квадратичной погрешностью отдельного результата.

О тносительное стандартное отклонение или коэффициент вариации (V) вычисляют по соотношению

Дисперсию среднего арифметического вычисляют:

и стандартное отклонение среднего

Следует отметить, что все величины – дисперсия, стандартное отклонение и относительное стандартное отклонение, а так же дисперсия среднего арифметического и стандартное отклонение среднего арифметического – характеризуют воспроизводимость результатов химического анализа.

Используемое при обработке небольших (n<20) выборок из нормально распределенной генеральной совокупности t – распределение (т.е. распределение нормированной случайной величины) характеризуется соотношением

где t p , f – распределение Стьюдента при числе степеней свободы f = n -1 и доверительной вероятности Р=0,95 (или уровня значимости р=0,05) .

Значения t - распределения приведены в таблицах, по ним рассчитывают для выборки в n результатов величину доверительного интервала измеряемой величины для заданной доверительной вероятности по формуле

Доверительный интервал характеризует как воспроизводимость результатов химического анализа, так и – если известно истинное значение х ист – их правильность.

Пример выполнения контрольной работы № 2

Задание

При а нализе воздуха на содержание азота хроматографическим методом для двух серий опытов получены следующие результаты:

Решение :

Проверяем ряды на наличие грубых ошибок по Q-критерию. Для чего их располагаем результаты в ряд по убыванию (от минимума к максимуму или наоборот) :

Первая серия:

77,90<77,92<77,95<77,99<78,05<78,07<78,08<78,10

Проверяем крайние результаты ряда (не содержат ли они грубую ошибку).

Полученное значение сравниваем с табличным (табл.2 приложения). Для n=8, p=0,95 Q таб =0,55.

Т.к. Q таб >Q 1 расчет, левая крайняя цифра не является «промахом».

Проверяем крайнюю правую цифру

Q расч

Крайняя правая цифра так же не является ошибочной.

Располагаем результаты второго ря да в порядке их возрастания:

78,02<78,08<78,13<78,14<78,16<78,20<78,23<78,26.

Проверяем крайние результаты опытов - не являются ли они ошибочными.

Q (n=8, p=0,95)=0,55. Табличное значение.

Крайнее левое значение – не ошибочное.

Крайняя правая цифра (не является ли она ошибочной).

Т.е. 0,125<0,55

Крайнее правое число не является «промахом».

Подвергаем результаты опытов статистической обработке.

Вычисляем средневзвешенные результатов:

- для первого ряда результатов.

- для второго ряда результатов.

Дисперсия относительно среднего:

- для первого ряда.

- для второго ряда.

Стандартное отклонение:

- для первого ряда.

- для второго ряда.

Стандартное отклонение среднего арифметического:

При небольших (n<20) выборках из нормально распределенной генеральной совокупности следует использовать t – распределение, т.е. распределение Стьюдента при числе степени свободы f=n-1 и доверительной вероятности p=0,95.

Пользуясь таблицами t – распределения, определяют для выборки в n – результатов величину доверительного интервала измеряемой величины для заданной доверительной вероятности. Этот интервал можно рассчитать:

Сравниваем дисперсии и средние результаты двух выборочных совокупностей.

Сравнение двух дисперсий проводится при помощи F- распределения (распределения Фишера). Если мы имеем две выборочные совокупности с дисперсиями S 2 1 и S 2 2 и числами степеней свободы f 1 =n 1 -1 и f 2 =n 2 -1, соответственно, то рассчитываем значение F:

F=S 2 1 / S 2 2

Причем в числителе всегда находится большая из двух сравниваемых выборочных дисперсий. Полученный результат сравнивают с табличным значением. Если F 0 > F крит (при р=0,95; n 1 , n 2), то расхождение между дисперсиями значимо и рассматриваемые выборочные совокупности различаются по воспроизводимости.

Если расхождение между дисперсиями незначимо, возможно сравнить средние x 1 и х 2 двух выборочных совокупностей, т.е. выяснить, есть ли статистически значимая разница между результатами анализов. Для решения поставленной задачи используют t – распределение. Предварительно рассчитывают средневзвешенное двух дисперсий:

И средневзвешенное стандартное отклонение

а затем – величину t:

Значение t эксп сравнивают с t крит при числе степеней свободы f=f 1 +f 2 =(n 1 +n 2 -2) и выборочной доверительной вероятности р=0,95. Если при этом t эксп > t крит ,то расхождение между средними и значимо и выборка не принадлежит одной и той же генеральной совокупности. Если t эксп < t крит, расхождение между средними незначимо, т.е. выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, и, следовательно, данные обеих серий можно объединить и рассматривать их как одну выборочную совокупность из n 1 +n 2 результатов.

Контрольное задание № 2

Анализ воздуха на содержание компонента Х хроматографическим методом для двух серий дал следующие результаты (таблица-1).

3. Принадлежат ли результаты обеих выборок и одной и той же генеральной совокупности. Проверить по критерию Стьюдента t (р = 0,95; n = 8).

Таблица-4.2.1- Исходные данные по контрольному заданию № 2