График квадратного трехчлена

2019-04-19

Квадратный трехчлен

Квадратным трехчленом мы назвали целую рациональную функцию второй степени:

$y = ax^2 + bx + c$, (1)

где $a \neq 0$. Докажем, что графиком квадратного трехчлена является парабола, получаемая параллельными сдвигами (в на правлениях координатных осей) из параболы $y = ax^2$. Для этого приведем выражение (1) путем простых тождественных преобразований к виду

$y = a(x + \alpha)^2 + \beta$. (2)

Соответствующие преобразования, записанные ниже, известны как «выделение точного квадрата»:

$y = x^2 + bx + c = a \left (x^2 + \frac{b}{a} x \right) + c = a \left (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac {b^2}{4a^2} \right) - \frac {b^2}{4a} + c = a \left (x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac {b^2 - 4ac}{4a}$. (2")

Мы привели квадратный трехчлен к виду (2); при этом

$\alpha = \frac{b}{2a}, \beta = - \frac {b^2 - 4ac}{4a}$

(эти выражения не следует запоминать, удобней всякий раз выполнять преобразование трехчлена (1) к виду (2) непосредственно).

Теперь видно, что график трехчлена (1) - парабола, равная параболе $y = ax^2$ и получаемая сдвигами параболы $y = ax^2$ в направлениях осей координат на $\alpha$ и $\beta$ (с учетом знака $\alpha$ и $\beta$) соответственно. Вершина этой параболы помещается в точке $(- \alpha, \beta)$, ее осью служит прямая $x = - \alpha$. При $a > 0$ вершина - наинизшая точка параболы, при $a
Проведем теперь исследование квадратного трехчлена, т. е. выясним его свойства в зависимости от числовых значений коэффициентов $a, b, с$ в его выражении (1).

Обозначим в равенстве (2") величину $b^2- 4ac$ через $d$:

$y = a \left (x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{d}{4a}$; (4)

$d = b^2 - 4ac$ называется дискриминантом квадратного трехчлена. Свойства трехчлена (1) (и расположение его графика) определяются знаками дискриминанта $d$ и старшего коэффициента $a$.

1) $a > 0, d 0$; так как $a > 0$, то график расположен выше вершины $O^{ \prime}$; он лежит в верхней полуплоскости ($y > 0$ - рис а.).

2) $a
3) $a > 0, d > 0$. Вершина $O^{ \prime}$ лежит ниже оси $Ox$, парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках $x_1, x_2$ (рис в.).

4) $a 0$. Вершина $O^{ \prime}$ лежит выше оси $Ox$, парабола снова пересекает ось $Ox$ в двух точках $x_1, x_2$ (рис. г).

5) $a > 0, d = 0$. Вершина лежит на самой оси $Ox$, парабола расположена в верхней полуплоскости (рис. д).

6) $a
Выводы. Если $d 0$), либо ниже (при $a
Если $d > 0$, то функция знакопеременная (график частью лежит ниже, частью выше оси $Ox$). Квадратный трехчлен с $d > 0$ имеет два корня (нуля) $x_1, x_2$. При $a > 0$ он отрицателен в интервале между корнями (рис. в) и положителен вне этого интервала. При $a

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1) Формула параболы y=ax 2 +bx+c ,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх ,
а то ветви параболы направлены вниз .
Свободный член c эта точке пересекается параболы с осью OY;

2) , ее находят по формуле x=(-b)/2a , найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y ;

3) Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax 2 +bx+c=0 ;

Виды уравнений:

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE , чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.